PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M07 da 2ª fase da FUVEST 2008
Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado.
Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada.
Dessa forma, determine a probabilidade de
a) Pedro vencer na primeira rodada.
b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.
c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.
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Resolução comentada
a) Há 6\times 6=36 resultados equiprováveis (p,j), com p os pontos de Pedro e j os de José. Pedro vence quando p-j\ge 2. Contando por diferença:
- p-j=2: 4 pares, de (3,1) a (6,4);
- p-j=3: 3 pares;
- p-j=4: 2 pares;
- p-j=5: 1 par.
São 4+3+2+1=10 casos favoráveis, então
Probabilidade: \dfrac{5}{18}.
b) Ninguém vence quando |p-j|\le 1, isto é, quando p=j ou os pontos diferem de 1 unidade.
- p=j: 6 pares;
- |p-j|=1: 5 pares com p-j=1 e 5 com j-p=1, ou seja, 10 pares.
São 16 casos favoráveis. Conferindo: Pedro vence em 10, José vence em 10 por simetria, e 10+10+16=36.
Probabilidade: \dfrac{4}{9}.
c) O evento "alguém vence até a quarta rodada" é o complementar de "nas quatro primeiras rodadas ninguém vence". As rodadas são independentes, e em cada uma a probabilidade de ninguém vencer é \frac49. Logo,
Probabilidade: \dfrac{6305}{6561}\approx 0{,}961.
Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.
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