PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M09 da 2ª fase da FUVEST 2008
A figura na página de respostas representa o número \omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} no plano complexo, sendo i = \sqrt{-1} a unidade imaginária. Nessas condições,
a) determine as partes real e imaginária de \frac{1}{\omega} e de \omega^3.
b) represente \frac{1}{\omega} e \omega^3 na figura ao lado.
c) determine as raízes complexas da equação z^3 - 1 = 0.
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Resolução comentada
a) Note que \omega = \cos 120° + i\,\sen 120°, ou seja, tem módulo 1 e argumento \frac{2\pi}{3}.
Como |\omega|=1, o inverso é o conjugado: \frac{1}{\omega}=\bar\omega. Conferindo pela conta direta:
Logo, \text{Re}\left(\frac1\omega\right)=-\frac12 e \text{Im}\left(\frac1\omega\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.
Para \omega^3, pela fórmula de De Moivre: \omega^3=\cos 360°+i\,\sen 360°=1.
Logo, \text{Re}(\omega^3)=1 e \text{Im}(\omega^3)=0.
\frac1\omega: parte real -\frac12, parte imaginária -\frac{\sqrt3}{2}; \omega^3: parte real 1, parte imaginária 0.
b) Na figura (plano complexo, circunferência de raio 1 centrada na origem, que contém \omega):
- \frac1\omega é o ponto \left(-\frac12,\,-\frac{\sqrt3}{2}\right), simétrico de \omega em relação ao eixo real (3º quadrante, argumento 240°), sobre a circunferência de raio 1.
- \omega^3 é o ponto (1,0), no eixo real, também sobre a circunferência.
Pontos \left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right) e (1,0) na circunferência unitária.
c) Fatorando:
A primeira raiz é z=1. Para z^2+z+1=0:
Isto é, z=\omega e z=\frac1\omega=\omega^2, coerente com o item (a): 1^3=1, \omega^3=1 e (\omega^2)^3=1.
Raízes: 1, \frac{-1+i\sqrt3}{2} e \frac{-1-i\sqrt3}{2}.
Assunto: Números complexos.
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