PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2008
São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x^2 + y^2 = 5, o ponto P = (1, \sqrt{3}) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine
a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Como s é a reta x=1, substituímos na circunferência: 1+y^2=5, logo y=\pm 2. A ordenada de E é positiva, então E=(1,2).
A tangente à circunferência em E é perpendicular ao raio OE. O raio OE tem coeficiente angular 2, então a tangente tem coeficiente angular -\frac{1}{2}:
O mesmo resultado vem da fórmula da tangente em (x_0,y_0): x_0x+y_0y=5.
Reta tangente: x+2y=5.
b) Temos O=(0,0), P=(1,\sqrt3) e E=(1,2). O lado PE está na reta vertical x=1.
- A altura relativa a PE passa por O e é horizontal: é a reta y=0.
- A altura relativa a OE passa por P e é perpendicular a OE, que tem coeficiente angular 2. Ela tem coeficiente angular -\frac12: y-\sqrt3=-\frac12(x-1).
- Intersecção com y=0: -\sqrt3=-\frac12(x-1), logo x-1=2\sqrt3 e x=1+2\sqrt3.
Conferindo com a terceira altura, a que passa por E e é perpendicular a OP (coeficiente angular \sqrt3, então o da altura é -\frac{1}{\sqrt3}): y-2=-\frac{1}{\sqrt3}(x-1). Em y=0 temos x-1=2\sqrt3, o mesmo ponto.
Ortocentro: H=(1+2\sqrt3,\ 0).
Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
