PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2008
A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz \frac{\pi}{2} < x < \pi e verifica a equação \sen x + \sen 2x + \sen 3x = 0.
Assim,
a) determine x.
b) calcule \cos x + \cos 2x + \cos 3x.
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Resolução comentada
a) Some \sen x + \sen 3x com a fórmula de prostaférese \sen p + \sen q = 2\,\sen\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}:
\sen x + \sen 3x = 2\,\sen 2x\,\cos x
A equação fica:
2\,\sen 2x\,\cos x + \sen 2x = 0 \;\Rightarrow\; \sen 2x\,(2\cos x + 1) = 0
Há dois casos:
- \sen 2x = 0 dá 2x = k\pi, ou seja, x = \frac{k\pi}{2}. Em \frac{\pi}{2} < x < \pi não há nenhum valor desse tipo, pois \frac{\pi}{2} e \pi são os extremos excluídos.
- 2\cos x + 1 = 0 dá \cos x = -\frac{1}{2}. No intervalo \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), isso ocorre em x = \frac{2\pi}{3}.
Portanto x = \frac{2\pi}{3}.
x = \dfrac{2\pi}{3}
b) Use a mesma ideia com os cossenos: \cos x + \cos 3x = 2\cos 2x\,\cos x. Então:
\cos x + \cos 2x + \cos 3x = \cos 2x\,(2\cos x + 1)
Como \cos x = -\frac{1}{2}, o fator 2\cos x + 1 vale zero.
Conferindo direto com x = \frac{2\pi}{3}:
\cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \cos 2\pi = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0
O valor da soma é 0.
Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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