PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2008
Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a \frac{9}{5}. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é \frac{24}{5}.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
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Resolução comentada
a) Escreva os termos da PA como a-r, a e a+r, em ordem crescente, com r>0.
A soma dos termos é 3a=\frac{9}{5}, então a=\frac{3}{5}.
A diferença entre os quadrados da maior e da menor raiz é:
Substituindo a=\frac{3}{5}: \frac{12}{5}r=\frac{24}{5}, logo r=2.
Os termos são:
- a-r=\frac{3}{5}-2=-\frac{7}{5}
- a=\frac{3}{5}
- a+r=\frac{3}{5}+2=\frac{13}{5}
A PA é \left(-\frac{7}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{13}{5}\right).
b) Com coeficiente dominante 5 e raízes x_1,x_2,x_3, o polinômio é p(x)=5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
Ao expandir, o coeficiente de x é 5\,(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), isto é, 5 vezes a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas (relações de Girard).
Calculando os produtos:
- x_1x_2=-\frac{7}{5}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{21}{25}
- x_1x_3=-\frac{7}{5}\cdot\frac{13}{5}=-\frac{91}{25}
- x_2x_3=\frac{3}{5}\cdot\frac{13}{5}=\frac{39}{25}
A soma é \frac{-21-91+39}{25}=-\frac{73}{25}.
Portanto, o coeficiente é 5\cdot\left(-\frac{73}{25}\right)= -\frac{73}{5}.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Progressão aritmética.
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