PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2008

2ª fase · Matemática · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e \cos \hat{C} = \frac{3}{8}. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento \overline{BC} e é tal que AR = AC e \frac{BR}{BC} = \frac{4}{7}, calcule

a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado \overline{BC}.

b) a área do triângulo ABR.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Como AR = AC, o triângulo ARC é isósceles de base RC. Assim, o pé M da altura traçada de A é o ponto médio de RC.

No triângulo retângulo AMC:

CM = AC\cos\hat C = 4\cdot\frac{3}{8} = \frac{3}{2}

Logo CR = 2\,CM = 3.

Como \frac{BR}{BC}=\frac{4}{7}, temos \frac{CR}{BC}=\frac{3}{7}. Então BC = 7 e BR = 4.

Pelo teorema de Pitágoras em AMC:

h = AM = \sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{16-\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{55}{4}} = \frac{\sqrt{55}}{2}

A altura relativa a BC é justamente AM. Conferindo a condição AB>AC: BM = 4+\frac32=\frac{11}{2}, então AB^2=\frac{121}{4}+\frac{55}{4}=44 e AB=\sqrt{44}>4. Está de acordo com o enunciado.

h = \dfrac{\sqrt{55}}{2}

b) Os triângulos ABR e ABC têm a mesma altura h relativa à reta BC, pois R está em BC. A base de ABR é BR = 4:

\text{Área}(ABR) = \frac{BR\cdot h}{2} = \frac{4\cdot \frac{\sqrt{55}}{2}}{2} = \sqrt{55}

Área =\sqrt{55}

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão M02 no caderno Matemática da 2ª fase da FUVEST 2008