PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2008

2ª fase · Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.

Triângulo equilátero DEF com círculo C inscrito e um círculo menor tangente aos lados DF e EF e externamente ao círculo C

Assim, determine

a) a razão entre R e r.

b) a área do triângulo DEF em função de r.

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Resolução comentada

a) O círculo menor é tangente aos lados FD e FE, então seu centro O' está na bisectriz do ângulo F. O centro O de C também está nessa bisectriz, pois C é inscrito. Como o ângulo em F mede 60^\circ, a bisectriz forma 30^\circ com cada lado.

A distância de um centro ao lado é o raio do círculo. Assim:

  1. FO' = \dfrac{r}{\sen 30^\circ} = 2r
  2. FO = \dfrac{R}{\sen 30^\circ} = 2R

Os círculos são tangentes externamente, logo OO' = R + r. Como O e O' estão na mesma bisectriz:

OO' = FO - FO' \Rightarrow R + r = 2R - 2r \Rightarrow R = 3r.

\dfrac{R}{r} = 3

b) O raio R é o inraio do triângulo equilátero de lado L, ou seja, a terça parte da altura:

R = \frac{1}{3}\cdot\frac{L\sqrt3}{2} = \frac{L\sqrt3}{6} \Rightarrow L = 2\sqrt3\,R.

Como R = 3r, temos L = 6\sqrt3\, r.

A área é:

A = \frac{L^2\sqrt3}{4} = \frac{(6\sqrt3\,r)^2\sqrt3}{4} = \frac{108\,r^2\sqrt3}{4} = 27\sqrt3\,r^2.

A = 27\sqrt3\,r^2

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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