PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2007
A figura representa um trapézio ABCD de bases \overline{\text{AB}} e \overline{\text{CD}}, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio.
Sabe-se que \text{AB} = 4, \text{CD} = 2 e \text{AC} = 3\sqrt{2}.
a) Determine a altura do trapézio.
b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito.
c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.
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Resolução comentada
a) Um trapézio inscrito numa circunferência é isósceles. Coloco o sistema de coordenadas com A=(-2,0) e B=(2,0), de modo que a base AB=4 fique centrada na origem. A base CD=2 fica à altura h, com D=(-1,h) e C=(1,h).
A diagonal AC vai de (-2,0) a (1,h):
A altura do trapézio é 3.
b) O centro O está na mediatriz de AB, que é o eixo y. Logo O=(0,k). Como OA = OD = R:
Igualando:
Como 0<1<3, o centro está de fato no interior do trapézio, como o enunciado diz. Então R^2 = 4 + 1 = 5.
O raio é \sqrt{5}.
c) O trapézio está inteiramente dentro do círculo, então a região pedida é a diferença entre as áreas do círculo e do trapézio.
- Área do círculo: \pi R^2 = 5\pi.
- Área do trapézio: \dfrac{(4+2)\cdot 3}{2} = 9.
A área pedida é 5\pi - 9, aproximadamente 6{,}7 unidades de área.
Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos, Círculo: comprimento, arcos e áreas.
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