PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2007
Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5\cos 2x + 3\sen x = 4.
Determine os valores de \sen x e \cos x.
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Resolução comentada
Para ter uma equação só em \sen x, uso a identidade do arco duplo \cos 2x = 1 - 2\sen^2 x.
- Substituindo na equação: 5(1-2\sen^2 x) + 3\sen x = 4.
- Desenvolvendo: 5 - 10\sen^2 x + 3\sen x = 4, ou seja, 10\sen^2 x - 3\sen x - 1 = 0.
- Com s=\sen x, o discriminante é \Delta = 9 + 40 = 49. Logo:
s = \frac{3 \pm 7}{20} \Rightarrow s = \frac12 \ \text{ou}\ s = -\frac15.
No terceiro quadrante, seno e cosseno são negativos. Isso elimina s = \frac12, e fica \sen x = -\dfrac15.
Pela relação fundamental:
\cos^2 x = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{2\sqrt6}{5}.
Como \cos x < 0 no terceiro quadrante, \cos x = -\dfrac{2\sqrt6}{5}.
\sen x = -\dfrac{1}{5} e \cos x = -\dfrac{2\sqrt6}{5}
Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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