PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M03 da 2ª fase da FUVEST 2007

2ª fase · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Em uma progressão aritmética a_1, a_2, \text{...}, a_n, \text{...} a soma dos n primeiros termos é dada por S_n = bn^2 + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a_3 = 7, determine

a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.

b) o 20o termo da progressão.

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.

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Resolução comentada

a) Como a_n = S_n - S_{n-1} para n \geq 2, temos a_3 = S_3 - S_2.

S_3 = 9b + 3, \qquad S_2 = 4b + 2
a_3 = 9b + 3 - (4b + 2) = 5b + 1

Como a_3 = 7, vem 5b + 1 = 7, logo b = \dfrac{6}{5}.

Para a razão, calculamos a_1 = S_1 = b + 1 = \dfrac{11}{5} e a_2 = S_2 - S_1 = (4b+2) - (b+1) = 3b + 1 = \dfrac{23}{5}.

Então r = a_2 - a_1 = \dfrac{23}{5} - \dfrac{11}{5} = \dfrac{12}{5}.

Conferindo: a_3 = \dfrac{11}{5} + 2\cdot\dfrac{12}{5} = \dfrac{35}{5} = 7, como no enunciado.

b = \dfrac{6}{5} e razão r = \dfrac{12}{5}.

b) Usamos o termo geral da PA:

a_{20} = a_1 + 19r = \frac{11}{5} + 19\cdot\frac{12}{5} = \frac{11 + 228}{5} = \frac{239}{5}

a_{20} = \dfrac{239}{5} = 47{,}8.

c) Basta usar a fórmula do enunciado com n = 20 e b = \dfrac{6}{5}:

S_{20} = \frac{6}{5}\cdot 400 + 20 = 480 + 20 = 500

Conferindo pela soma da PA: S_{20} = \dfrac{(a_1 + a_{20})\cdot 20}{2} = \left(\dfrac{11}{5} + \dfrac{239}{5}\right)\cdot 10 = 50\cdot 10 = 500.

S_{20} = 500.

Assunto: Progressão aritmética.

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