PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M02 da 2ª fase da FUVEST 2007

2ª fase · Matemática · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura abaixo, os segmentos \overline{\text{AB}} e \overline{\text{CD}} são paralelos, o ângulo \text{O}\hat{\text{A}}\text{B} mede 120^\circ, \text{AO} = 3 e \text{AB} = 2 .
Sabendo-se ainda que a área do triângulo \text{OCD} vale 600\sqrt{3} ,

Dois triângulos, OAB e OCD, com o segmento AC horizontal contendo o ponto O, e o segmento BD transversal passando também por O, de modo que os triângulos são opostos pelo vértice O. O segmento AB fica à esquerda inclinado para a esquerda e para cima, e o segmento CD fica à direita inclinado para a direita e para baixo, paralelos entre si.

a) calcule a área do triângulo OAB.

b) determine OC e CD.

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Resolução comentada

a) Em um triângulo, a área é metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Aqui, os lados AO = 3 e AB = 2 formam o ângulo de 120^\circ:

S_{OAB} = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot \sen 120^\circ = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

Área de OAB = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}

b) Como AB \parallel CD, os ângulos O\hat{A}B e O\hat{C}D são alternos internos, e os ângulos em O são opostos pelo vértice. Logo, os triângulos OAB e OCD são semelhantes, com A \leftrightarrow C, B \leftrightarrow D e O \leftrightarrow O.

A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança k:

k^2 = \frac{600\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = 400 \Rightarrow k = 20

Assim:

  1. OC = k\cdot AO = 20\cdot 3 = 60
  2. CD = k\cdot AB = 20\cdot 2 = 40

Conferindo: \frac{1}{2}\cdot 60\cdot 40\cdot \sen 120^\circ = 1200\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 600\sqrt{3}. ✓

OC = 60 e CD = 40

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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