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Questão 166 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

A densidade demográfica de uma região é definida como sendo a razão entre o número de habitantes dessa região e sua área, expressa na unidade habitantes por quilômetro quadrado.

Uma região R é subdividida em várias outras, sendo uma delas a região Q. A área de Q é igual a três quartos da área de R, e o número de habitantes de Q é igual à metade do número de habitantes de R. As densidades demográficas correspondentes a essas regiões são denotadas por d(Q) e d(R).

A expressão que relaciona d(Q) e d(R) é

  1. A
    d(Q) = \dfrac{1}{4} d(R)
  2. B
    d(Q) = \dfrac{1}{2} d(R)
  3. C
    d(Q) = \dfrac{3}{4} d(R)
  4. D
    d(Q) = \dfrac{3}{2} d(R)
  5. E
    d(Q) = \dfrac{2}{3} d(R)
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Resolução comentada

A densidade demográfica é a razão entre habitantes e área. Chamando de H o número de habitantes de R e de A a área de R, temos:

d(R) = \frac{H}{A}

Para a região Q, o enunciado dá:

  • número de habitantes: \dfrac{H}{2}
  • área: \dfrac{3A}{4}

Calculando d(Q):

  1. d(Q) = \dfrac{H/2}{3A/4}
  2. Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso: d(Q) = \dfrac{H}{2}\cdot\dfrac{4}{3A}
  3. Multiplicando: d(Q) = \dfrac{4H}{6A} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{H}{A}

Como \dfrac{H}{A} = d(R), concluímos:

d(Q) = \frac{2}{3}\, d(R)

Faz sentido: Q tem metade da população, mas ocupa mais da metade da área, então sua densidade fica menor que a de R (mas não tão pequena quanto \frac{1}{2} de d(R)).

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem inverte a razão entre as frações, chegando a \frac{3}{2} em vez de \frac{2}{3}.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amultiplica \frac{1}{2} por \frac{1}{2} ou faz conta sem relação com a razão; o valor \frac{1}{4} não sai da divisão.
  • Bconsidera só a população (metade) e ignora que a área de Q também é menor que a de R.
  • Cconsidera só a área (\frac{3}{4}) e ignora a população de Q.
  • Dinverte a fração, obtendo \frac{3}{2} em vez de \frac{2}{3}, ao dividir as frações.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Razão e proporção.

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