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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 164 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P_1, P_2 e P_3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

Esquema geométrico representando três postos de saúde, P1, P2 e P3, localizados nos vértices de um triângulo equilátero com lados de 10 km, e um ponto central H, que representa o hospital, equidistante de P1, P2 e P3.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

  1. A
    2 e 3.
  2. B
    4 e 5.
  3. C
    5 e 6.
  4. D
    7 e 8.
  5. E
    8 e 9.
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Resolução comentada

Os três postos formam um triângulo equilátero de lado 10\ \text{km}. O hospital H é equidistante dos três vértices, então é o circuncentro do triângulo, e a distância pedida é o raio R da circunferência circunscrita.

No triângulo equilátero, o circuncentro coincide com o baricentro. Ele fica a \frac{2}{3} da altura, medidos a partir do vértice.

  1. Altura do triângulo equilátero de lado \ell: h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
  2. Distância de H a cada vértice: R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.
  3. Com \sqrt{3}\approx 1{,}73: R\approx\frac{17{,}3}{3}\approx 5{,}77\ \text{km}.

Conferindo pela fórmula R=\frac{\ell}{\sqrt{3}}=\frac{10}{1{,}73}\approx 5{,}77, o mesmo valor.

Logo, a distância está entre 5 e 6 km.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem usa a altura inteira do triângulo (≈ 8,66 km) como distância; e A engana quem toma só 1/3 da altura (≈ 2,89 km).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pequeno demais; não corresponde a nenhum cálculo correto (o apótema seria cerca de 2,9, que é o erro de usar 1/3 da altura).
  • BNão corresponde ao raio; fica abaixo dos 5,77 km obtidos.
  • DValor acima do raio real, sem base no cálculo.
  • EChega perto da altura (5\sqrt{3}\approx 8{,}66), esquecendo de tomar \frac{2}{3} dela.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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