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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 163 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H12 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Esquema de duas polias circulares conectadas por uma correia. À esquerda, polia menor de centro A e raio r = 4 cm, com arco de contato de ângulo central medindo 150°. À direita, polia maior de centro B e raio R = 8 cm. Os trechos retilíneos da correia entre as polias medem 15 cm cada.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.

Considere 3 como valor aproximado para \pi.

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é

  1. A
    54.
  2. B
    60.
  3. C
    66.
  4. D
    68.
  5. E
    72.
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Resolução comentada

A correia é formada por dois trechos retos e dois arcos: um na polia menor e outro na polia maior.

O arco da polia menor é o que aparece na figura, com ângulo central de 150°. Como o ângulo dado é o do lado esquerdo (o arco por fora), o arco da polia maior é o complementar até 360° em relação ao ajuste das tangentes: as duas retas tangentes externas formam um trapézio com os raios, e os ângulos dos dois arcos somam 360° + 360° dividido entre as polias, ou seja, os arcos têm 150° e 210°.

Conferindo: os raios até os pontos de tangência são perpendiculares às retas. Se o arco menor mede 150°, o arco maior mede 360° - 150° = 210°, pois os dois raios de cada polia (superior e inferior) são quase paralelos e os ângulos em A e B são suplementares nos arcos em contato com a correia.

  1. Trechos retos: 2 \cdot 15 = 30\ \text{cm}.
  2. Arco na polia menor: \dfrac{150}{360}\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = \dfrac{5}{12}\cdot 24 = 10\ \text{cm}.
  3. Arco na polia maior: \dfrac{210}{360}\cdot 2\cdot 3\cdot 8 = \dfrac{7}{12}\cdot 48 = 28\ \text{cm}.

Soma:

30 + 10 + 28 = 68\ \text{cm}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa 150° também na polia maior, esquecendo que esse arco mede 210°.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão fecha com nenhuma combinação correta dos trechos retos e dos dois arcos.
  • BErra o arco da polia maior, por exemplo usando 150° nas duas polias (30+10+20=60).
  • CErro de conta nos arcos; não corresponde a 30+10+28.
  • ESuperestima os arcos, por exemplo usando a circunferência inteira de uma das polias.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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