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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 160 do ENEM 2022

2º dia · Matemática · H6 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Um robô, que tem um ímã em sua base, se desloca sobre a superfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternando entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos iniciais desse robô.

Cubo visto de cima e de frente, com arestas ocultas tracejadas. O ponto P está no centro da face superior; setas indicam deslocamentos sucessivos pela face superior, pela face direita, pela face posterior, pela face frontal e pela face inferior, passando por pontos médios de arestas e centros de faces.

A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, visualizada da posição em que se está enxergando esse cubo, é

  1. A
    Plano cinza em perspectiva com dois paralelogramos de contorno preto, um à esquerda e abaixo e outro à direita e acima, unidos por um vértice.
  2. B
    Plano em perspectiva dividido em quatro paralelogramos: três têm contorno preto, nas posições inferior esquerda, inferior direita e superior direita; o superior esquerdo não tem contorno completo.
  3. C
    Plano cinza em perspectiva com dois paralelogramos de contorno preto à direita, um acima do outro.
  4. D
    Plano cinza em perspectiva com dois paralelogramos de contorno preto lado a lado na parte superior.
  5. E
    Plano em perspectiva dividido em quatro paralelogramos: três têm contorno preto, nas posições superior esquerda, superior direita e inferior direita; o inferior esquerdo não tem contorno completo.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque o cubo em coordenadas [0,1]^3, com x para a direita, y para o fundo e z para cima. O ponto P é (0{,}5;\,0{,}5;\,1).

O robô passa pelos centros das faces nesta ordem: superior, direita, posterior, inferior. Pela alternância das conversões, ele continua pela esquerda, frontal e volta à superior. Os deslocamentos entre centros são +x, +y, -z, -x, -y, +z.

A projeção ortogonal no plano da base (xy) ignora z. Os trechos verticais viram pontos, e os demais ficam assim:

  1. Superior → direita: de (0{,}5;\,0{,}5) a (1;\,0{,}5).
  2. Direita → posterior: de (1;\,0{,}5) a (1;\,1) e depois a (0{,}5;\,1).
  3. Posterior → inferior: de (0{,}5;\,1) a (0{,}5;\,0{,}5).
  4. Inferior → esquerda: de (0{,}5;\,0{,}5) a (0;\,0{,}5).
  5. Esquerda → frontal: de (0;\,0{,}5) a (0;\,0) e depois a (0{,}5;\,0).
  6. Frontal → superior: de (0{,}5;\,0) a (0{,}5;\,0{,}5).

Dividindo a base em quatro quadrados menores, os passos 2 e 3 (com parte de 1) fecham o contorno do quadrado do fundo à direita. Os passos 5 e 6 (com parte de 4) fecham o contorno do quadrado da frente à esquerda.

As duas retas do meio, y=0{,}5 e x=0{,}5, já são lados desses dois quadrados. Não sobra traço em nenhum dos outros dois quadrados.

O resultado são dois paralelogramos, um na frente à esquerda e outro no fundo à direita, unidos pelo vértice central. Vista de frente, a parte de trás fica em cima.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDesenha três quadrados com contorno; o robô só contorna dois quadrados, opostos pelo vértice.
  • CColoca os dois quadrados contornados no mesmo lado, um sobre o outro, o que não corresponde à trajetória projetada.
  • DColoca os dois quadrados lado a lado no fundo, quando eles ficam em cantos opostos.
  • ETambém mostra três quadrados contornados, quando são só dois.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Geometria espacial de posição.

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