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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 179 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.

A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão

  1. A
    \frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{15!}{10!5!}
  2. B
    \frac{6!}{4!2!} + \frac{15!}{10!5!}
  3. C
    \frac{6!}{2!} + \frac{15!}{5!}
  4. D
    \frac{6!}{2!} \cdot \frac{15!}{5!}
  5. E
    \frac{21!}{7!14!}
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Resolução comentada

Cada fantasia usa um grupo de 2 tecidos (entre 6) e um grupo de 5 pedras (entre 15). A ordem dentro de cada grupo não importa: escolher o tecido X e depois o Y dá a mesma fantasia que escolher Y e depois X. Isso indica combinação, e não arranjo.

  1. Tecidos: C_{6,2} = \frac{6!}{2!\,4!}
  2. Pedras: C_{15,5} = \frac{15!}{5!\,10!}

As escolhas de tecidos e de pedras são independentes e acontecem ao mesmo tempo. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos os resultados:

\frac{6!}{4!\,2!}\cdot\frac{15!}{10!\,5!}

Essa é a expressão da alternativa A. Só para conferir os valores: C_{6,2}=15 e C_{15,5}=3003, o que dá 45\,045 fantasias diferentes.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana por trazer as combinações corretas, mas com o sinal de soma no lugar do produto.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bsoma as combinações em vez de multiplicar, mas as duas escolhas ocorrem juntas e exigem o princípio multiplicativo.
  • Csoma expressões que não são combinações, pois faltam os fatoriais 4! e 10! no denominador.
  • Dmultiplica, mas sem os fatoriais 4! e 10! no denominador; a expressão não é de combinação.
  • Etrata os 21 materiais como um único conjunto e escolhe 7, sem separar tecidos de pedras.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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