PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM 2021

2º dia · Matemática · H15

O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.

O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é

  1. A
    Gráfico de linha contínua linear crescente partindo de (0, 4 000) até (20, 5 700), com eixos de Desconto e Arrecadação.
  2. B
    Gráfico de pontos discretos alinhados de forma linear crescente partindo de (0, 4 000) para valores inteiros de desconto até 20.
  3. C
    Gráfico de linha contínua linear decrescente partindo de (0, 4 000) até aproximadamente (20, 3 700).
  4. D
    Gráfico de curva contínua em formato parabólico com concavidade voltada para baixo, partindo de (0, 4 000), atingindo o vértice próximo de 6 250 e interceptando o eixo horizontal em 20.
  5. E
    Gráfico de pontos discretos distribuídos ao longo de uma parábola com concavidade para baixo, para valores inteiros de desconto de 0 a 20, iniciando em (0, 4 000) e atingindo (20, 0).
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Resolução comentada

Seja x o desconto, em reais. O preço do ingresso passa a ser 20 - x e o público passa a ser 200 + 40x pessoas.

A arrecadação é o preço vezes o número de pessoas:

A(x) = (20 - x)(200 + 40x) = -40x^2 + 600x + 4\,000

O coeficiente de x^2 é negativo, então o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. Isso elimina as retas (A, B e C).

Os pontos principais são:

  1. x = 0: A = 20 \cdot 200 = 4\,000, onde o gráfico começa.
  2. x = 20: A = 0 \cdot 1\,000 = 0, onde o gráfico chega ao eixo horizontal.
  3. Vértice: x_v = \dfrac{-600}{2(-40)} = 7{,}5 e A_v = (12{,}5)(500) = 6\,250.

Falta decidir entre a curva contínua (D) e os pontos isolados (E). O enunciado diz que os donos só admitem valores inteiros para o ingresso, então o desconto também só pode ser inteiro: x = 0, 1, 2, \dots, 20. O gráfico deve ter apenas pontos isolados sobre a parábola, e não uma curva contínua.

Conferindo no gráfico E: em x = 7 e x = 8, A = 13 \cdot 480 = 6\,240 e A = 12 \cdot 520 = 6\,240. Os dois pontos ficam no mesmo nível, perto de 6\,250, como mostra a figura.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: a parábola está correta, mas é contínua, e a restrição de valores inteiros no enunciado exige pontos isolados, como em E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATrata a arrecadação como função afim crescente e contínua, ignorando que o produto preço × público é quadrático.
  • BConsidera que só há desconto inteiro (pontos), mas mantém comportamento linear, o que não corresponde à arrecadação quadrática.
  • CReta decrescente contínua: não descreve a arrecadação, que cresce até o vértice e depois cai a zero.
  • DTem a parábola correta, mas contínua; o desconto só pode assumir valores inteiros, então o gráfico deve ser de pontos.

Assuntos: função quadrática, interpretação de gráficos, domínio discreto.

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