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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 171 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

Desenho de uma locomotiva seguida por 12 vagões de mesmo formato e tamanho, numerados de 1 a 12 em ordem crescente.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

  1. A
    C_{12}^{4}\times C_{12}^{3}\times C_{12}^{3}\times C_{12}^{2}
  2. B
    C_{12}^{4}+C_{8}^{3}+C_{5}^{3}+C_{2}^{2}
  3. C
    C_{12}^{4}\times 2\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{2}
  4. D
    C_{12}^{4}+2\times C_{12}^{3}+C_{12}^{2}
  5. E
    C_{12}^{4}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{3}\times C_{2}^{2}
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Resolução comentada

Como os vagões estão fixos em ordem (1 a 12), cada trem diferente corresponde a uma forma diferente de distribuir as cores entre as posições. Escolher as posições de cada cor é um problema de combinação, feito em etapas, e as etapas se multiplicam (princípio multiplicativo).

  1. Vermelho: escolhemos 4 das 12 posições: C_{12}^{4}.
  2. Azul: sobram 8 posições e escolhemos 3: C_{8}^{3}.
  3. Verde: sobram 5 posições e escolhemos 3: C_{5}^{3}.
  4. Amarelo: sobram 2 posições e as 2 são amarelas: C_{2}^{2}=1.

As escolhas são sucessivas e dependentes, pois as posições já usadas saem do total. Por isso o número de trens é o produto:

C_{12}^{4}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{3}\times C_{2}^{2}

Conferindo: 495\times 56\times 10\times 1 = \dfrac{12!}{4!\,3!\,3!\,2!}, que é a permutação com repetição esperada.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa 12 posições em todas as escolhas, sem descontar as já ocupadas pelas cores anteriores.
  • Bsoma as combinações em vez de multiplicar as etapas.
  • Cinclui um fator 2 sem sentido e usa C_5^2 em vez de C_5^3 para o verde.
  • Dsoma termos com 12 posições, sem a estrutura de escolhas sucessivas.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 171 no caderno Azul do ENEM 2019

Nos cadernos: Amarelo 137Cinza 166Azul 171Rosa 146