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Questão 157 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Poliedros e relação de Euler

As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.

Ilustração de um tetraedro regular de aresta de comprimento a sofrendo um corte por um plano paralelo à sua base a uma distância a/3 do vértice superior, com uma seta apontando para a direita exibindo o sólido resultante após a remoção do ápice.

Essa luminária terá por faces

  1. A
    4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  2. B
    2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  3. C
    4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  4. D
    3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  5. E
    3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
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Resolução comentada

Um tetraedro regular tem 4 vértices e 4 faces, e cada face é um triângulo equilátero de lado a.

Em cada vértice, o corte é feito por um plano paralelo à face oposta, removendo \frac{a}{3} de cada uma das 3 arestas que saem dele. Isso acontece nos 4 vértices.

  1. Faces novas: cada corte cria uma face triangular. Como o plano é paralelo à base, o triângulo é semelhante ao original, com razão \frac{1}{3}, e tem lado \frac{a}{3}. Ele é equilátero. Como são 4 vértices cortados, surgem 4 triângulos equiláteros.

  2. Faces antigas: cada face original era um triângulo de lado a e teve seus 3 vértices cortados. Em cada lado, sobra a-\frac{a}{3}-\frac{a}{3}=\frac{a}{3}. Cada face vira um hexágono com 6 lados: 3 lados de \frac{a}{3} que restaram das arestas originais e 3 lados de \frac{a}{3} vindos dos cortes.

  3. Regularidade: todos os lados medem \frac{a}{3}. Os ângulos do hexágono são 120^\circ, pois cada canto cortado do triângulo equilátero (que tem 60^\circ) deixa ângulos externos de 60^\circ nos novos vértices. Logo o hexágono é regular.

Temos 4 faces originais, que viram 4 hexágonos regulares, e 4 triângulos equiláteros novos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConta só 2 hexágonos, mas as 4 faces originais viram hexágonos.
  • CCortar os cantos de um triângulo não gera quadriláteros, e os triângulos novos são equiláteros.
  • DDiz que há 3 quadriláteros, mas as faces antigas ficam com 6 lados e as novas não são isósceles.
  • EIndica 3 hexágonos, mas o tetraedro tem 4 faces, então são 4 hexágonos.

Assuntos: Poliedros e relação de Euler, Semelhança e Teorema de Tales.

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