Questão 156 do ENEM 2019

Primeiro, conte todas as maneiras de dividir 8 pessoas em 4 duplas sem restrição. Como as duplas não têm ordem e dentro de cada dupla a ordem não importa, o total é:

Agora, calcule as divisões proibidas, isto é, aquelas em que os dois canhotos formam uma dupla.

1. Os dois canhotos ficam juntos: 1 modo.
2. Os 6 jogadores restantes formam 3 duplas: \dfrac{C_{6,2}\cdot C_{4,2}\cdot C_{2,2}}{3!}=\dfrac{15\cdot 6\cdot 1}{6}=15.

Portanto, há 15 divisões proibidas.

O número de divisões válidas é o total menos as proibidas:

Confirmando por outro caminho: o canhoto A escolhe um parceiro entre os 6 destros (6 modos). O canhoto B escolhe parceiro entre os 5 destros restantes (5 modos). Sobram 4 destros, que formam 2 duplas de \dfrac{C_{4,2}\cdot C_{2,2}}{2!}=3 modos. Total: 6\cdot5\cdot3=90.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (105) é o total sem a restrição; quem esquece de descontar as 15 divisões com os canhotos juntos cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa; não resulta de nenhuma contagem correta do problema.
• BValor sem justificativa; não corresponde a nenhuma contagem correta do problema.
• DSubtrai apenas 1 do total (uma dupla de canhotos), sem contar as 15 divisões restantes dos outros seis; o valor 104 não sai dessa conta.
• EÉ o total sem restrição, esquecendo de descontar as divisões com os dois canhotos juntos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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