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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 147 do ENEM 2019

2º dia · Matemática · H12 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento.

O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40\text{ cm}, que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60\text{ cm}, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para \pi.

Placa de sinalização composta por um círculo de diâmetro d tangenciando a parte superior de um retângulo, totalizando altura h. No interior do círculo, há a letra E cortada por uma faixa diagonal (símbolo de proibido estacionar) e, abaixo, no retângulo, o texto PROIBIDO ESTACIONAR.

Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das dez placas?

  1. A
    16 628
  2. B
    22 280
  3. C
    28 560
  4. D
    41 120
  5. E
    66 240
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Resolução comentada

A placa é formada por um círculo de diâmetro d = 40\text{ cm} (raio 20\text{ cm}) e um retângulo de largura 40\text{ cm} (o círculo tangencia os lados do retângulo). A altura total é h = 60\text{ cm}. Pela figura, o círculo se encaixa no topo do retângulo e o retângulo vai até a base, então o retângulo tem altura de 60\text{ cm} e o círculo fica sobreposto à parte de cima dele. A área da placa é, portanto, a do retângulo somada à do semicírculo que sobressai acima dele. Isso vale porque a parte do círculo dentro do retângulo já está contada.

A figura mostra que a parte de cima do círculo passa do retângulo, e o retângulo começa na altura do centro do círculo. Assim, o retângulo tem altura h - r = 60 - 20 = 40\text{ cm} e largura 40\text{ cm}.

  1. Área do círculo: A_c = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 400 = 1\,256\ \text{cm}^2.
  2. Área do retângulo: A_r = 40 \cdot 40 = 1\,600\ \text{cm}^2 (metade inferior do círculo fica dentro dele).
  3. Área da placa = retângulo + semicírculo superior: 1\,600 + 628 = 2\,228\ \text{cm}^2.
  4. Dez placas: 10 \cdot 2\,228 = 22\,280\ \text{cm}^2.

A soma das áreas das dez placas é 22\,280\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Pegadinha: Somar a área do círculo inteiro à do retângulo conta duas vezes a metade do círculo que está dentro do retângulo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma círculo e retângulo de 40 × 40 e ainda desconta algo indevido, ou usa só parte da figura; não corresponde à área da placa.
  • CConsidera o retângulo de 40 × 60 mais o semicírculo? Ainda assim superestima: usa altura errada para o retângulo.
  • DSoma o círculo inteiro ao retângulo sem descontar a parte sobreposta, e erra a escala.
  • EUsa retângulo 40 × 60 somado ao círculo inteiro, contando a sobreposição duas vezes.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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