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Questão 174 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H17 · Matemática: Função exponencial

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0{,}25\text{ cm}^2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0{,}30 como aproximação para \log_{10} 2.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

  1. A
    1999
  2. B
    2002
  3. C
    2022
  4. D
    2026
  5. E
    2146
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Resolução comentada

Densidade inicial (1986): \frac{100\,000}{0{,}25} = 4\cdot 10^{5} transistores por \text{cm}^2.

Meta: 100 bilhões =10^{11} transistores por \text{cm}^2 (o texto compara com o número de neurônios, e a pergunta é sobre a densidade de 100 bilhões).

A densidade dobra a cada 2 anos. Depois de n períodos de 2 anos:

4\cdot 10^{5}\cdot 2^{n}=10^{11}
  1. Isolando a potência: 2^{n}=\dfrac{10^{11}}{4\cdot 10^{5}}=\dfrac{10^{6}}{4}=\dfrac{10^{6}}{2^{2}}.
  2. Aplicando \log_{10}: n\log 2=6-2\log 2.
  3. Com \log 2=0{,}30: 0{,}30\,n=6-0{,}60=5{,}40.
  4. Logo n=\dfrac{5{,}40}{0{,}30}=18.

São 18 períodos de 2 anos, ou seja, 18\cdot 2=36 anos.

Ano: 1986+36=2022.

Alternativa C.

Pegadinha: Quem usa 100 000 transistores como densidade, esquecendo de dividir por 0,25 cm², obtém n=20 e 2026 (alternativa D).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa poucos períodos, como se fossem 13 anos; não resolve corretamente a equação exponencial.
  • BErra a conta do logaritmo, chegando a apenas 16 anos, e não a 36.
  • DChega a 40 anos, valor que não sai da equação com os dados corretos.
  • EConfunde o número de períodos (36) com número de anos, ou usa a densidade errada, chegando a 160 anos.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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