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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Função afim

Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Estágio 1: guindaste com cabo de aço na vertical preso a uma extremidade da viga apoiada no solo; projeção ortogonal no chão indicada como ponto O e ponto médio da viga como M. Estágio 2: guindaste içando a extremidade da viga na vertical com seta para cima, enquanto a outra extremidade desliza em direção a O com seta para a direita; linha tracejada liga a extremidade ao ponto O no solo e M é o ponto médio da viga inclinada. Estágio 3: viga totalmente na posição vertical apoiada sobre o ponto O, com ponto médio M indicado.

Na figura, o ponto O representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo t = 0 (estágio 1) e finaliza no tempo t_{\text{f}} (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade desliza sobre o solo em direção ao ponto O. Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M representa o ponto médio do segmento que representa a viga.

O gráfico que descreve a distância do ponto M ao ponto O, em função do tempo, entre t = 0 e t_{\text{f}}, é

  1. A
    Gráfico com eixos Distância versus Tempo, mostrando uma função constante do tempo 0 até tf
  2. B
    Gráfico com eixos Distância versus Tempo, mostrando um segmento de reta crescente do tempo 0 até tf
  3. C
    Gráfico com eixos Distância versus Tempo, mostrando um segmento de reta decrescente do tempo 0 até tf
  4. D
    Gráfico com eixos Distância versus Tempo, mostrando uma curva com concavidade voltada para baixo do tempo 0 até tf
  5. E
    Gráfico com eixos Distância versus Tempo, mostrando uma curva com concavidade voltada para cima do tempo 0 até tf
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Resolução comentada

Chame de L o comprimento da viga. Em qualquer instante, uma extremidade está sobre a vertical que passa por O, a uma altura h. A outra extremidade está no chão, a uma distância d de O. Como a viga não muda de tamanho, os três segmentos formam um triângulo retângulo com hipotenusa L, e h^2 + d^2 = L^2.

O ponto M é o ponto médio da hipotenusa. Nesse triângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade dela. Isso vale porque o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo, e os três vértices ficam à mesma distância dele.

Assim, a distância de M até O, que é o vértice do ângulo reto, é:

MO = \frac{L}{2}

Confira nos extremos:

  1. No estágio 1, a viga está deitada com uma extremidade em O, então MO = L/2.
  2. No estágio 3, a viga está em pé, com a base em O, então MO = L/2.
  3. Nos estágios intermediários, o resultado é o mesmo, pelo argumento da mediana.

Portanto, a distância de M a O não muda durante o movimento. O gráfico dessa distância em função do tempo é uma reta horizontal, isto é, uma função constante. M percorre um quarto de circunferência de raio L/2 com centro em O.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bsupõe que a distância de M a O aumenta linearmente, mas ela é constante e igual a L/2.
  • Csupõe que M se aproxima de O linearmente, o que contraria a propriedade da mediana da hipotenusa.
  • Dsugere que a distância aumenta e depois diminui, mas M percorre um arco de circunferência com centro em O.
  • Esugere que a distância diminui e depois aumenta, mas o raio L/2 não varia.

Assunto: Função afim.

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