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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).

Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete.

Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante.

Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é

  1. A
    A_{10}^4
  2. B
    C_{10}^4
  3. C
    C_4^2 \times C_6^2 \times 2 \times 2
  4. D
    A_4^2 \times A_6^2 \times 2 \times 2
  5. E
    C_4^2 \times C_6^2
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Resolução comentada

Cada estande recebe um carro compacto e uma caminhonete. Como há dois estandes (entrada e centro), que são distintos, precisamos escolher os carros de cada um.

Passo a passo:

  1. Escolher os 2 compactos entre os 4 disponíveis: C_4^2.
  2. Escolher as 2 caminhonetes entre as 6: C_6^2.
  3. Agora é preciso distribuir os carros nos estandes. Os 2 compactos escolhidos podem ser colocados na entrada e no centro de 2 maneiras (qual vai para a entrada).
  4. Do mesmo modo, as 2 caminhonetes podem ser distribuídas de 2 maneiras.

A posição dentro do estande é irrelevante, então não há mais nenhuma permutação a contar.

Total:

C_4^2 \times C_6^2 \times 2 \times 2

Outra forma de ver: A_4^2\times A_6^2 contaria a ordem dos escolhidos, que aqui corresponde à atribuição a cada estande. Mas A_4^2 = C_4^2\times 2 já inclui o fator 2, então multiplicar A_4^2\times A_6^2 por 2\times 2 de novo contaria a distribuição duas vezes.

A expressão correta é a que escolhe os grupos com combinação e depois multiplica por 2\times2 para distribuí-los entre os dois estandes distintos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana por esquecer que os estandes são distintos; a D engana por contar a ordem duas vezes (arranjo já inclui o fator 2).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Atrata como arranjo de 4 entre 10 carros, ignorando que há categorias distintas (compactos e caminhonetes).
  • Bescolhe 4 carros entre 10 sem separar compactos de caminhonetes nem distribuir nos estandes.
  • Dusa arranjos, que já contam a distribuição nos estandes, e multiplica por 2\times2 de novo, contando duas vezes.
  • Esó escolhe os carros e esquece de distribuí-los entre os dois estandes, que são distintos.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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