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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n \times n, com n \ge 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 \times 8.

Tabuleiro quadriculado de 8 por 8 casas, com uma peça circular preta em uma casa e faixas cinza-escuras preenchendo as outras casas pertencentes à mesma linha e coluna dessa peça, representando sua zona de combate.

O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a \frac{1}{5}.

A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

  1. A
    4 \times 4.
  2. B
    6 \times 6.
  3. C
    9 \times 9.
  4. D
    10 \times 10.
  5. E
    11 \times 11
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Resolução comentada

A primeira peça ocupa uma casa. Sobram n^2-1 casas vazias, e a segunda peça pode ir em qualquer uma delas.

A zona de combate é formada pelas casas da mesma linha e da mesma coluna, sem contar a casa da própria peça: são (n-1)+(n-1)=2(n-1) casas. Na figura 8×8, por exemplo, há 14 casas escuras, e 2\cdot 7=14.

A probabilidade pedida é:

P=\frac{2(n-1)}{n^2-1}=\frac{2(n-1)}{(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n+1}

Impondo P<\frac{1}{5}:

  1. \frac{2}{n+1}<\frac{1}{5}
  2. 10<n+1
  3. n>9

Como n é inteiro, o menor valor é n=10.

Conferindo: para n=9, P=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}, que não é inferior a \frac15. Para n=10, P=\frac{2}{11}<\frac{1}{5}, pois 10<11.

A dimensão mínima é 10\times10.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana: n=9 dá exatamente \frac15, e o enunciado exige probabilidade inferior, então é preciso n>9.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom n=4, P=\frac{2}{5}, muito maior que \frac15.
  • BCom n=6, P=\frac{2}{7}, ainda maior que \frac15.
  • CCom n=9, P=\frac{2}{10}=\frac15, igual e não inferior, então não serve.
  • E11\times11 satisfaz a condição, mas não é a dimensão mínima.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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