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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM 2018

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

Esquema da praça circular com círculos concêntricos representando o chafariz ao centro e o passeio ao redor

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16\text{ m}.

Esquema da praça circular mostrando o segmento de reta tracejado tangente ao chafariz que une os pontos A e B, com indicação de 16 m

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

  1. A
    4\pi
  2. B
    8\pi
  3. C
    48\pi
  4. D
    64\pi
  5. E
    192\pi
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Resolução comentada

Sejam R o raio da praça e r o raio do chafariz. A área do passeio é a da coroa circular: A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2).

Não conhecemos R nem r, mas o segmento AB é uma corda da praça e tangente ao chafariz. Isso dá uma relação entre os dois raios.

Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Então, se O é o centro e T o ponto de tangência, OT = r e OT \perp AB.

Como OT é perpendicular à corda AB e passa pelo centro, ele divide a corda ao meio: AT = \dfrac{16}{2} = 8\ \text{m}.

O triângulo OTA é retângulo em T, com hipotenusa OA = R (A está na borda da praça) e catetos OT = r e AT = 8. Por Pitágoras:

  1. R^2 = r^2 + 8^2
  2. R^2 - r^2 = 64

Substituindo na área:

A = \pi(R^2 - r^2) = 64\pi\ \text{m}^2

O valor da área depende só da diferença R^2 - r^2, por isso a medida de AB basta.

Alternativa D.

Pegadinha: Quem usa a corda inteira (16) em vez da metade (8) em Pitágoras chega a 256\pi, e quem esquece de elevar ao quadrado chega a valores como 8\pi.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa r=2 ou algo arbitrário; não há base na relação R^2-r^2=64.
  • BTira \pi \cdot 8, tomando 8 (metade da corda) sem elevar ao quadrado.
  • CValor sem relação com Pitágoras; não corresponde a R^2-r^2.
  • EUsa 16^2=256 menos 64, ou outra combinação errada; ignora que a metade da corda é 8.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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