Questão 152 do ENEM 2018

O triângulo tem vértices em (0,0), (10,0) e (10,10). Cada lado vira uma desigualdade, e o conjunto é a interseção das três.

1. Lado de baixo, sobre o eixo x: os pontos ficam acima dele, então y \ge 0.
2. Lado da direita, na reta x = 10: os pontos ficam à esquerda dela, então x \le 10.
3. Lado inclinado, que passa por (0,0) e (10,10), isto é, a reta y = x: os pontos da figura ficam abaixo dela. Por exemplo, (5,2) está no desenho e vale 2 \le 5. Logo y \le x.

Juntando: 0 \le y \le x \le 10.

Conferindo com pontos da figura: (10,10) satisfaz, pois 10 \le 10 \le 10. Já (2,5) não aparece no desenho e não satisfaz, pois 5 \le 2 é falso. Como o enunciado pede pares em \mathbb{N}\times\mathbb{N}, só entram pontos de coordenadas inteiras, como os pontos marcados.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana por trocar o sentido da desigualdade entre x e y: é preciso testar um ponto da figura, como (5,2).

Por que as outras alternativas estão erradas

• AInverte a desigualdade: x \le y descreve o triângulo acima da reta y=x, e não o da figura.
• CDescreve o quadrado inteiro de lado 10, não apenas o triângulo.
• Dx+y\le 10 é um triângulo com vértices em (0,0), (10,0) e (0,10), e exclui pontos como (10,10).
• Ex+y\le 20 inclui todo o quadrado até (10,10) e mais pontos fora da figura, como (15,5).

Assunto: Inequações e desigualdades.

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