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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 171 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Pivô central é um sistema de irrigação muito usado na agricultura, em que uma área circular é projetada para receber uma estrutura suspensa. No centro dessa área, há uma tubulação vertical que transmite água através de um cano horizontal longo, apoiado em torres de sustentação, as quais giram, sobre rodas, em torno do centro do pivô, também chamado de base, conforme mostram as figuras. Cada torre move-se com velocidade constante.

Na parte superior, fotografia de um sistema de irrigação por pivô central em uma plantação, destacando a estrutura triangular da base e a tubulação metálica que se estende pelo campo. Na parte inferior, esquema em vista superior mostrando o ponto central "BASE" e uma haste radial passando pelos pontos "T1", "T2" e "T3", cada qual sobre uma circunferência tracejada concêntrica de raio crescente; uma seta curva acima da circunferência externa indica o sentido de rotação anti-horário.

Um pivô de três torres (\text{T}_1, \text{T}_2 e \text{T}_3) será instalado em uma fazenda, sendo que as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre \text{T}_1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende ajustar as velocidades das torres, de tal forma que o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. Use 3 como aproximação para \pi.

Para atingir seu objetivo, as velocidades das torres \text{T}_1, \text{T}_2 e \text{T}_3 devem ser, em metro por hora, de

  1. A
    12 , 24 e 36.
  2. B
    6 , 12 e 18.
  3. C
    2 , 4 e 6.
  4. D
    300 , 1 200 e 2 700.
  5. E
    600 , 2 400 e 5 400.
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Resolução comentada

Cada torre descreve uma circunferência com centro na base. Em uma volta completa, ela percorre o comprimento da circunferência, 2\pi r. Como todas as torres estão na mesma haste, completam a volta no mesmo tempo, 25 h. Por isso, quanto mais longe da base, maior a velocidade.

Os raios são r_1 = 50 m, r_2 = 100 m e r_3 = 150 m. Com \pi = 3, a velocidade é v = \dfrac{2\pi r}{25} = \dfrac{6r}{25}.

  1. T_1: v_1 = \dfrac{6 \cdot 50}{25} = 12\ \text{m/h}.
  2. T_2: v_2 = \dfrac{6 \cdot 100}{25} = 24\ \text{m/h}.
  3. T_3: v_3 = \dfrac{6 \cdot 150}{25} = 36\ \text{m/h}.

As velocidades crescem em proporção ao raio (12, 24, 36), o que confere com a sequência 1:2:3 dos raios.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e E crescem com o quadrado do raio (300, 1200, 2700), o que engana quem usa a área do círculo em vez do comprimento da circunferência.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa 2\pi r/50, dividindo por 50 em vez de 25 (ou usa o diâmetro como raio), o que dá a metade do valor correto.
  • CDivide o comprimento da circunferência por um tempo incorreto, obtendo valores muito pequenos (2, 4, 6).
  • DUsa a área \pi r^2 em vez do comprimento, obtendo valores que crescem com o quadrado do raio.
  • ETambém usa a área da circunferência (\pi r^2), com erro na divisão.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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