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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função quadrática

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Esquema de um viveiro em forma de prisma reto-retangular, com laterais sombreadas, nível do mar indicado por uma seta e lados da base identificados por X e Y.

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

  1. A
    1 e 49
  2. B
    1 e 99
  3. C
    10 e 10
  4. D
    25 e 25
  5. E
    50 e 50
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Resolução comentada

A tela é usada só nas laterais, então os 100 m de tela formam o perímetro da base retangular de lados X e Y.

  1. Perímetro: 2X + 2Y = 100, logo X + Y = 50 e Y = 50 - X.

  2. Área da base: A = X\cdot Y = X(50 - X) = -X^2 + 50X.

  3. Essa é uma função do 2º grau com a = -1 < 0, então a parábola tem concavidade para baixo e o máximo está no vértice.

  4. Abscissa do vértice: X_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{50}{2\cdot(-1)} = 25.

  5. Então Y = 50 - 25 = 25.

A área máxima é 25\cdot 25 = 625\ \text{m}^2. Conferindo com outros valores: 10\cdot 40 = 400 e 1\cdot 49 = 49, ambos menores. Entre retângulos de mesmo perímetro, o de maior área é o quadrado.

Portanto X = 25 e Y = 25.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas B e E enganam quem toma 100 m como X+Y, esquecendo que 100 é o perímetro, isto é, 2(X+Y).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A1+49=50 respeita a soma, mas dá área de apenas 49\ \text{m}^2, muito longe do máximo.
  • B1+99=100 trata 100 como a soma dos lados, e não o perímetro (que exige X+Y=50).
  • C10+10=20 não usa os 100 m de tela; o perímetro seria 40 m.
  • E50+50=100 confunde 100 com a soma de X e Y; o perímetro seria 200 m.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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