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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 162 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade v de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v + b) = K, com a, b e K constantes.

Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:

Tipo de curva
Semirreta oblíqua
Semirreta horizontal
Ramo de parábola
Arco de circunferência
Ramo de hipérbole

O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p ; v). Admita que K > 0.

Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14 jul. 2015 (adaptado).

O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo

  1. A
    semirreta oblíqua.
  2. B
    semirreta horizontal.
  3. C
    ramo de parábola.
  4. D
    arco de circunferência.
  5. E
    ramo de hipérbole.
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Resolução comentada

A equação de Hill é (p+a)(v+b)=K, com K>0. Isolando v:

v+b=\frac{K}{p+a}\ \Rightarrow\ v=\frac{K}{p+a}-b
  1. Fazendo x=p+a e y=v+b, a equação vira xy=K.
  2. Essa é a equação de uma hipérbole equilátera, cujas assíntotas são os eixos x=0 e y=0. Em termos de p e v, as assíntotas são p=-a e v=-b.
  3. Como K>0, x e y têm o mesmo sinal, então a curva ocupa dois ramos (um com x,y>0 e outro com x,y<0).
  4. No contexto físico, o peso p e a velocidade v não são negativos, e só interessa p+a>0. Fica apenas um dos ramos da hipérbole.

Não é reta, pois v não é função de grau 1 de p. Também não é parábola nem circunferência, pois não há termos quadráticos como p^2 ou v^2 isolados: o produto pv é o termo de segundo grau, característico da hipérbole.

Portanto, o gráfico é um ramo de hipérbole.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUma semirreta oblíqua exigiria v ser função afim de p, mas aqui v é inversamente proporcional a p+a.
  • BSemirreta horizontal significaria v constante, o que não ocorre, pois v varia com p.
  • CParábola exigiria v ou p elevado ao quadrado isoladamente, e a equação tem o produto pv.
  • DCircunferência exigiria soma de quadrados (p+a)^2+(v+b)^2, não um produto.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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