PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 160 do ENEM 2017
O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado).
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
- A15
- B30
- C108
- D360
- E972
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Resolução comentada
Pela leitura do INEP, as quatro cores são as que podem ser usadas, sem obrigação de usar todas (veja a nota acima). Então basta contar as escolhas região por região, com cores diferentes em regiões que dividem uma borda.
A logomarca tem 6 regiões: o fundo da bola, as três mãos e as duas partes da base.
- O fundo da bola encosta nas três mãos, e as mãos não encostam umas nas outras.
- A mão de baixo desce e forma a haste, que encosta na parte do meio da base.
- A parte do meio da base encosta na parte da esquerda.
Pintando nessa ordem, cada região nova só encosta em uma já pintada: o fundo tem 4 cores; cada mão, 3; cada parte da base, 3.
Alternativa E.
Por que o gabarito oficial descarta as outras
- Aé C_{6,4}, o número de jeitos de escolher 4 das 6 regiões; não é uma pintura.
- Bé 6\cdot 5 e não sai da contagem de cores por região.
- Cé 4\cdot 3^3, o total de quem esquece as duas partes da base.
- Dé 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3, como se as cores não pudessem se repetir; regiões que não se tocam podem ter a mesma cor.
Assunto: Princípio fundamental da contagem.
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Nos cadernos: Amarelo 167Cinza 164Azul 160Rosa 157