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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 153 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.

Caminhão entala em viaduto no Centro

Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.

Caminhão de grande porte transportando três tubos cilíndricos preso sob a estrutura de um viaduto

Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado).

Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.

Vista traseira esquemática do empilhamento de três canos circulares de raio 0,60 m sobre uma superfície plana horizontal

A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.

Considere 1,7 como aproximação para \sqrt{3}.

Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?

  1. A
    2,82
  2. B
    3,52
  3. C
    3,70
  4. D
    4,02
  5. E
    4,20
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Os centros dos três canos formam um triângulo equilátero. Cada cano tem raio 0{,}60 m e os canos se tocam, então o lado do triângulo mede 2 \cdot 0{,}60 = 1{,}20 m.

A altura desse triângulo é:

h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{1{,}20 \cdot 1{,}7}{2} = 1{,}02\ \text{m}

Agora somamos as alturas, de baixo para cima:

  1. Carroceria até o solo: 1{,}30 m.
  2. Do topo da carroceria até o centro dos canos de baixo: 0{,}60 m (um raio).
  3. Do centro dos canos de baixo até o centro do cano de cima: 1{,}02 m.
  4. Do centro do cano de cima até o seu topo: 0{,}60 m (um raio).

Altura total do caminhão com a carga:

1{,}30 + 0{,}60 + 1{,}02 + 0{,}60 = 3{,}52\ \text{m}

A margem de segurança exige que o vão seja pelo menos 0{,}50 m maior que o veículo:

3{,}52 + 0{,}50 = 4{,}02\ \text{m}

Portanto, o viaduto deve ter no mínimo 4{,}02 m de altura.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana: é a altura do caminhão carregado, sem acrescentar a margem de 0,50 m pedida no enunciado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece um dos raios e a margem, ou usa só a altura do triângulo com a carroceria: valor abaixo da altura do caminhão.
  • BCalcula a altura do caminhão com a carga (3,52 m) mas esquece de somar a margem de segurança de 0,50 m.
  • CErra a altura da pilha, por exemplo usando 1,20 (diâmetro) em vez de 1,02 ou omitindo parte, e não chega ao valor correto.
  • ESoma a margem e ainda usa uma altura da pilha maior, como 2 raios a mais ou o lado 1,20 no lugar da altura do triângulo.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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