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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2017

2º dia · Matemática · H15 · Matemática: Função afim

A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura.

Sistema com dois reservatórios cúbicos/paralelepipédicos idênticos ligados por um cano à meia altura, com cano de entrada no Reservatório 1.

A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios.

Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em função do volume V de água no sistema?

  1. A
    Gráfico em malha quadriculada de h por V composto por uma única reta crescente com inclinação constante.
  2. B
    Gráfico em malha quadriculada de h por V composto por curvas não lineares.
  3. C
    Gráfico em malha quadriculada de h por V com três trechos retilíneos: o primeiro crescente, o segundo horizontal e o terceiro crescente com inclinação maior ou igual à do primeiro.
  4. D
    Gráfico em malha quadriculada de h por V com três trechos retilíneos: o primeiro crescente, o segundo horizontal e o terceiro crescente com inclinação menor que a do primeiro.
  5. E
    Gráfico em malha quadriculada de h por V com curva côncava de inclinação decrescente.
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Resolução comentada

O reservatório é um bloco retangular, então a altura da água é proporcional ao volume: V = A_{base}\cdot h. Com vazão constante, h cresce em linha reta enquanto só o Reservatório 1 enche.

Passos:

  1. Do início até o nível do cano de ligação, só o Reservatório 1 recebe água. O gráfico de h por V é um segmento crescente com inclinação \dfrac{1}{A_{base}}.
  2. Quando a água atinge o cano, ela passa a encher o Reservatório 2. O nível h do Reservatório 1 fica parado na altura do cano, e o gráfico tem um trecho horizontal enquanto o volume continua aumentando.
  3. Quando o nível do Reservatório 2 chega ao cano, os dois reservatórios estão ligados e enchem juntos a partir dessa altura. O volume total agora aumenta com a área das duas bases, 2A_{base}, para cada aumento de h.
  4. Assim, cada unidade de V eleva h pela metade do que elevava no início: a inclinação passa a \dfrac{1}{2A_{base}}, menor que a do primeiro trecho.

O gráfico deve ter três segmentos retos: subida, trecho horizontal e nova subida, menos inclinada que a primeira. Isso corresponde ao gráfico da alternativa D. Os gráficos curvos não servem, pois a relação é linear em cada trecho.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece que, com os dois reservatórios ligados, a área da base dobra e o nível sobe mais devagar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora o trecho em que a água enche o Reservatório 2 e o nível do 1 fica constante.
  • Busa curvas, mas em blocos retangulares a relação entre h e V é linear em cada trecho.
  • Ctraz o último trecho com inclinação igual ou maior que a inicial, mas a área da base dobra e a inclinação diminui.
  • Ecurva côncava sem trecho horizontal, que não representa o enchimento com dois reservatórios.

Assuntos: Função afim, Prismas e paralelepípedos.

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