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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 172 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).

O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

Bloco de madeira com perfurações retangular (R), triangular (T) e quadrada (Q), além do contorno tracejado da perfuração circular (C).

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para \sqrt{2} e \sqrt{3}, respectivamente.

Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

Para que as outras peças não caibam no círculo, o diâmetro deve ser menor que o menor círculo que contém cada peça. Para que o cilindro não caiba nas outras perfurações, o diâmetro deve ser maior que o da maior circunferência que cabe dentro de cada uma.

  1. Quadrado de lado 4 cm: a diagonal é 4\sqrt{2}=4\cdot 1{,}4=5{,}6 cm. Um círculo de diâmetro menor que 5,6 cm não comporta o quadrado.

  2. Retângulo 3 × 4 cm: a diagonal é \sqrt{3^2+4^2}=5 cm. Um círculo com diâmetro menor que 5 cm não comporta o retângulo. Esse limite é mais restritivo que o do quadrado.

  3. Triângulo equilátero de lado 6,8 cm: o círculo que o contém tem raio R=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}=\frac{6{,}8\cdot1{,}7}{3}\approx3{,}85 cm, ou seja, diâmetro de cerca de 7,7 cm. Um círculo com diâmetro menor que 7,7 cm não comporta o triângulo.

Assim, o diâmetro deve ser menor que 5 cm (o menor dos limites).

  1. Agora o círculo não pode caber nas perfurações. Nas mais restritas, o maior círculo inscrito tem diâmetro igual a:
  • quadrado: 4 cm;
  • retângulo: 3 cm;
  • triângulo: 2r=2\cdot\frac{\ell\sqrt3}{6}=\frac{6{,}8\cdot1{,}7}{3}\approx3{,}85 cm.

O diâmetro precisa ser maior que 4 cm (o maior desses valores).

Logo, 4<d<5. Entre as opções, só 4,7 cm serve.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A3,8 cm é menor que 4 cm, então o círculo caberia na perfuração quadrada.
  • C5,6 cm é igual à diagonal do quadrado e maior que a do retângulo (5 cm), então o quadrado e o retângulo caberiam no círculo.
  • D7,2 cm é maior que 5 cm, então quadrado e retângulo caberiam no círculo.
  • E9,4 cm é grande demais: todas as peças caberiam no círculo.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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