Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 169 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.

No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.

Gráfico da curva de concentração com o eixo vertical "Massa salarial acumulada (%)" de 0 a 100 e o eixo horizontal "Quantidade de funcionários (%)" de 0 a 100. Uma linha reta diagonal liga a origem (0, 0) ao ponto (100, 100). Abaixo dela, dois segmentos de reta conectam a origem ao ponto P de abscissa 90, e este ao ponto (100, 100). A área entre a diagonal e os segmentos é identificada como A, e a área abaixo dos segmentos até o eixo horizontal é identificada como B.

O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão \frac{A}{A + B}, em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0{,}3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado).

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

  1. A
    40%
  2. B
    20%
  3. C
    60%
  4. D
    30%
  5. E
    70%
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O Índice de Gini é \frac{A}{A+B}. Como A+B é a área do triângulo sob a diagonal, de vértices (0,0), (100,0) e (100,100), temos A+B=\frac{100\cdot 100}{2}=5000.

Para Gini igual a 0{,}3, precisamos de A=0{,}3\cdot 5000=1500. Logo, B=5000-1500=3500.

Seja y a ordenada de P, isto é, a massa salarial acumulada pelos 90% que ganham menos. A área B é a região sob os dois segmentos, formada por:

  1. Triângulo de (0,0) a (90,0) e P: \frac{90\cdot y}{2}=45y.
  2. Trapézio entre x=90 e x=100, com alturas y e 100: \frac{(y+100)\cdot 10}{2}=5y+500.

Somando: B=45y+5y+500=50y+500.

Igualando a 3500:

50y+500=3500 \Rightarrow y=60

Assim, os 90% de menores salários recebem 60% da massa salarial. Os 10% de maiores salários recebem o restante:

100-60=40\%

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C (60%) engana: é o valor de y encontrado no cálculo, mas a pergunta pede a parcela dos 10% mais ricos, que é 100-60=40\%.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com a área; não resolve 50y+500=3500 para obter a parcela dos 10% mais ricos.
  • CÉ a ordenada de P (60%), parcela dos 90% de menor salário, não dos 10% de maior salário.
  • DConfunde o Gini 0,3 com um percentual, sem calcular as áreas.
  • EResultado sem base no cálculo de B; não corresponde a 100-y com y=60.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Função afim.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 169 no caderno Azul do ENEM 2016

Nos cadernos: Amarelo 154Cinza 156Azul 169Rosa 173