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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

  1. A
    10^2 \cdot 26^2
  2. B
    10^2 \cdot 52^2
  3. C
    10^2 \cdot 52^2 \cdot \dfrac{4!}{2!}
  4. D
    10^2 \cdot 26^2 \cdot \dfrac{4!}{2! \cdot 2!}
  5. E
    10^2 \cdot 52^2 \cdot \dfrac{4!}{2! \cdot 2!}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Vamos usar o princípio multiplicativo, em duas etapas: escolher quais posições são de algarismos e depois preencher cada posição.

  1. Posições: a senha tem 4 lugares e 2 deles serão de algarismos (os outros 2, de letras). O número de formas de distribuir os tipos é uma permutação com repetição de 4 símbolos, dois de cada tipo (por exemplo, NNLL, NLNL, LNNL...):
\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{24}{4}=6

  1. Algarismos: cada um dos 2 lugares de algarismo tem 10 opções (0 a 9), com repetição permitida: 10^2.

  2. Letras: como maiúscula difere de minúscula, cada letra tem 26+26=52 opções. Para os 2 lugares de letra: 52^2.

  3. Multiplicando tudo:

10^2\cdot 52^2\cdot\frac{4!}{2!\cdot 2!}

O fator \frac{4!}{2!\cdot2!} não pode ser \frac{4!}{2!}, pois esse dividiria só pelas repetições de um tipo, e a repetição dos dois tipos precisa ser descontada.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora as posições possíveis e conta só 26 letras, sem diferenciar maiúsculas de minúsculas.
  • BConsidera 52 letras, mas esquece de multiplicar pelas formas de arranjar algarismos e letras nas 4 posições.
  • CDivide só por 2!, contando 12 arranjos de posições em vez de 6.
  • DUsa as 6 formas de posição, mas só 26 letras, esquecendo que maiúsculas e minúsculas são distintas.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton.

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Nos cadernos: Amarelo 153Cinza 155Azul 168Rosa 172