Questão 167 do ENEM 2016

Question

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

y = 9 - x^2\text{, sendo } x \text{ e } y \text{ medidos em metros.}

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a \frac{2}{3} da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

A
18
B
20
C
36
D
45
E
54

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

y = 9 - x^2\text{, sendo } x \text{ e } y \text{ medidos em metros.}

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a \frac{2}{3} da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

A
18
B
20
C
36
D
45
E
54

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A área sob a parábola é \frac{2}{3} da área do retângulo que tem a mesma base e a mesma altura da entrada do túnel. Então basta achar essa base e essa altura.

Base: o chão é o eixo horizontal, ou seja, y=0. Nesse nível a parábola cruza o eixo nos pontos em que 9 - x^2 = 0, logo x = -3 ou x = 3. A base vale 3-(-3) = 6\ \text{m}.
Altura: o ponto mais alto da parábola está no eixo de simetria, x=0. Aí y = 9 - 0 = 9\ \text{m}.
Retângulo: 6 \times 9 = 54\ \text{m}^2.
Área sob o arco:

A = \frac{2}{3}\times 54 = 36\ \text{m}^2

Como a tampa tem o mesmo contorno e as mesmas dimensões da seção do túnel, a área da parte frontal dela é 36\ \text{m}^2.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula só o retângulo de 6 × 9 = 54 e esquece o fator 2/3.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa base 6 e altura 3, ou confunde as dimensões, chegando a 18 em vez de 36.
BNão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo; valor sem fundamento.
DUsa base 5 e altura 9 (ou outra medida errada), e não os 6 m e 9 m corretos.
EPara na área do retângulo (6 × 9 = 54) e esquece de multiplicar por 2/3.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Função quadrática.

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Questão 167 no caderno Azul do ENEM 2016

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