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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 166 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Plano cartesiano com eixos x (km) e y (km), origem O e marcações −1 e 1. O ponto F = (−1, 1) está ligado ao ponto B = (1, −1) por um segmento de reta que passa pela origem e por uma semicircunferência que passa acima e à direita da origem.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1\ \text{m} de galeria via segmento de reta demora 1{,}0\ \text{h}, enquanto que 1\ \text{m} de construção de galeria via semicircunferência demora 0{,}6\ \text{h}. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para \pi e 1{,}4 como aproximação para \sqrt{2}.

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de

  1. A
    1 260.
  2. B
    2 520.
  3. C
    2 800.
  4. D
    3 600.
  5. E
    4 000.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Primeiro calculamos o comprimento de cada trajeto, lembrando que as coordenadas estão em km e os tempos são dados por metro.

Segmento de reta: a distância entre F(-1,1) e B(1,-1) é

d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-1-1)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2\cdot 1{,}4=2{,}8\ \text{km}=2\,800\ \text{m}.

Semicircunferência: o segmento FB é o diâmetro, então o raio é

r=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1{,}4\ \text{km}.

O comprimento da semicircunferência é

C=\pi r\approx 3\cdot 1{,}4=4{,}2\ \text{km}=4\,200\ \text{m}.

Tempos:

  1. Reta: 2\,800\cdot 1{,}0=2\,800\ \text{h}.
  2. Semicircunferência: 4\,200\cdot 0{,}6=2\,520\ \text{h}.

Como há urgência, escolhemos o menor tempo: 2\,520 h, pela semicircunferência, mesmo sendo o caminho mais longo.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que o caminho mais curto (a reta) é sempre o mais rápido, esquecendo que a semicircunferência é construída em menos tempo por metro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa metade do tempo correto da semicircunferência, como se o comprimento fosse 2 100 m (esquece parte do cálculo).
  • CÉ o tempo do segmento de reta (2 800 h), que não é o menor.
  • DNão corresponde a nenhum dos trajetos; resulta de erro de conversão ou de conta.
  • ENão corresponde a nenhum dos trajetos; resulta de erro de conta com raio ou unidades.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Ponto e reta no plano cartesiano.

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