Questão 165 do ENEM 2016

Question

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

A
40
B
60
C
100
D
115
E
120

Answer 1

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Questão 165 do ENEM 2016

2º dia · Matemática · H3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício?

A
40
B
60
C
100
D
115
E
120

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Resolução comentada

João trabalha nos andares 1, 3, 5, 7, ... (de 2 em 2), ou seja, em todos os ímpares. Pedro trabalha em 1, 4, 7, 10, ... (de 3 em 3).

Os andares em que os dois trabalham são os que aparecem nas duas sequências. Como as duas começam no andar 1, os andares comuns são 1, 7, 13, 19, ... A razão dessa nova progressão é o mínimo múltiplo comum de 2 e 3:

\text{mmc}(2,3)=6

Portanto, os andares comuns formam uma PA com a_1 = 1 e r = 6.

O enunciado diz que há exatamente 20 andares comuns, então n = 20:

a_{20} = 1 + (20-1)\cdot 6
a_{20} = 1 + 114 = 115

O último andar comum é o 115. Como os dois terminaram o trabalho no último andar, ele precisa pertencer às duas sequências, e o 115 pertence: é ímpar (João) e 115 = 1 + 3\cdot 38 (Pedro). Logo, o último andar do edifício é o 115.

Confirmação: o próximo andar comum seria 121, que já passaria de 20 andares comuns, então o prédio termina em 115.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem multiplica 20 por 6 e esquece que o primeiro andar comum é o 1, não o 6.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa 40, o dobro de 20, sem relação com a PA de razão 6.
BCalcula 20\times 3, ignorando que os andares comuns têm razão 6 e começam no 1.
CNão corresponde a nenhum cálculo correto; 100 não é da forma 1+6k.
ECalcula 20\times 6 = 120, esquecendo que a PA começa em 1 e usa (n-1)r; além disso 120 é par e João não trabalha nele.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Progressão aritmética.

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