Questão 152 do ENEM 2015

Question

O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t \ge 1?

A
P(t) = 0{,}5 \cdot t^{-1} + 8\ 000
B
P(t) = 50 \cdot t^{-1} + 8\ 000
C
P(t) = 4\ 000 \cdot t^{-1} + 8\ 000
D
P(t) = 8\ 000 \cdot (0{,}5)^{t - 1}
E
P(t) = 8\ 000 \cdot (1{,}5)^{t - 1}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 152 do ENEM 2015

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Progressão geométrica

O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t \ge 1?

A
P(t) = 0{,}5 \cdot t^{-1} + 8\ 000
B
P(t) = 50 \cdot t^{-1} + 8\ 000
C
P(t) = 4\ 000 \cdot t^{-1} + 8\ 000
D
P(t) = 8\ 000 \cdot (0{,}5)^{t - 1}
E
P(t) = 8\ 000 \cdot (1{,}5)^{t - 1}

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Resolução comentada

Crescimento de 50% ao ano significa que, a cada ano, a produção é multiplicada por 1 + 0{,}5 = 1{,}5. Isso caracteriza uma progressão geométrica, ou seja, uma função exponencial.

Montando os primeiros termos:

Ano t = 1: P(1) = 8\,000.
Ano t = 2: P(2) = 8\,000 \cdot 1{,}5.
Ano t = 3: P(3) = 8\,000 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 8\,000 \cdot (1{,}5)^2.

Olhando o padrão, o expoente de 1{,}5 é sempre uma unidade menor que o ano, pois no ano 1 ainda não houve aumento. Logo:

P(t) = 8\,000 \cdot (1{,}5)^{t-1}

Teste: para t = 1, (1{,}5)^0 = 1 e P = 8\,000, correto. Para t = 2, P = 12\,000, que é 8 000 mais 50% de 8 000, correto.

As alternativas A, B e C têm o termo t^{-1}, que decresce com o tempo, e não representam crescimento de 50% ao ano. A alternativa D usa 0{,}5 como fator, o que faria a produção cair pela metade a cada ano.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde o fator de crescimento (1,5) com a taxa (0,5).

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa t^{-1}, que diminui com o tempo, somado a 8 000; não é crescimento exponencial de 50%.
Bmesmo erro: termo 50\cdot t^{-1} decresce e o modelo não é exponencial.
Cusa 4\,000\cdot t^{-1}, que decresce; só lembra os 50% de 8 000, mas sem o efeito acumulado.
Dusa fator 0{,}5, o que reduziria a produção à metade a cada ano, em vez de aumentar 50%.

Assuntos: Progressão geométrica, Função exponencial.

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