Questão 148 do ENEM 2014

Question

A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Ilustração de uma criança em um balanço preso ao topo de um suporte. A corda mede 2 metros; uma linha tracejada mostra a trajetória curva do assento. Estão indicados o topo do suporte e o chão do parque.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.

A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

A
f(x)=-\sqrt{2-x^2}
B
f(x)=\sqrt{2-x^2}
C
f(x)=x^2-2
D
f(x)=-\sqrt{4-x^2}
E
f(x)=\sqrt{4-x^2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 148 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Equação da circunferência

A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Ilustração de uma criança em um balanço preso ao topo de um suporte. A corda mede 2 metros; uma linha tracejada mostra a trajetória curva do assento. Estão indicados o topo do suporte e o chão do parque.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.

A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

A
f(x)=-\sqrt{2-x^2}
B
f(x)=\sqrt{2-x^2}
C
f(x)=x^2-2
D
f(x)=-\sqrt{4-x^2}
E
f(x)=\sqrt{4-x^2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O assento está sempre a 2 m do topo do suporte, que é a origem. Logo, a trajetória é um arco de circunferência de centro (0,0) e raio 2:

x^2+y^2=2^2=4

Isolando y:

y=\pm\sqrt{4-x^2}

O sinal + dá a semicircunferência de cima, e o sinal - dá a de baixo.

Como o eixo Y aponta para cima e a origem está no topo, o assento fica sempre abaixo da origem, ou seja, y<0. A criança não deixa a corda chegar à horizontal, então o assento nunca alcança y=0. Por isso a curva é parte da semicircunferência inferior, com y=-\sqrt{4-x^2}.

Conferindo: no ponto mais baixo, x=0, temos y=-\sqrt{4}=-2, isto é, o assento está 2 m abaixo do topo, o que é coerente com a corda esticada na vertical.

A função é f(x)=-\sqrt{4-x^2}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem acerta o raio (x^2+y^2=4) mas esquece que o balanço fica abaixo da origem, portanto y é negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa raio \sqrt{2} (confunde r=2 com r^2=2) e, embora o sinal negativo esteja certo, a corda mediria \sqrt{2}.
Braio \sqrt{2} e sinal positivo, que colocaria o assento acima do topo.
Cé uma parábola, não uma circunferência; a distância à origem não seria constante.
Eraio correto, mas o sinal positivo é a semicircunferência acima da origem, e o balanço está abaixo do topo.

Assuntos: Equação da circunferência, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 148 no caderno Azul do ENEM 2014

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