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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 147 do ENEM 2014

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

Triângulo formado por 17 palitos de fósforo: 5 no lado esquerdo e 6 em cada um dos outros dois lados.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é

  1. A
    3.
  2. B
    5.
  3. C
    6.
  4. D
    8.
  5. E
    10.
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Resolução comentada

Os lados são números inteiros de palitos, com soma 17, e pelo menos um deles vale 6. Para existir o triângulo, vale a desigualdade triangular: o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Como o perímetro é 17, isso equivale a dizer que o maior lado é no máximo 8 (pois 2\cdot 8 = 16 < 17, mas com 9 sobraria 8, e 9 < 8 é falso).

Seja 6, b, c os lados, com b + c = 11 e b \le c. Cada par (b,c) dá um triângulo diferente. Exigimos c \le 8 e também 6 < b + c = 11, que sempre vale.

  1. b=3,\ c=8: lados 6, 3, 8. Maior lado 8 < 9. Vale.
  2. b=4,\ c=7: lados 6, 4, 7. Vale.
  3. b=5,\ c=6: lados 6, 5, 6. Vale.

Os casos b=2, c=9 e b=1, c=10 falham, pois 9 > 6+2 = 8 e 10 > 7.

Mas b pode ser maior que 6 também, então listamos todos os pares com soma 11 e b \le c: (1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6). Só três servem.

Atenção: o par (5,6) já traz dois lados iguais a 6, e o triângulo 6, 5, 6 é o da figura. Não há outros casos, pois se o 6 aparece duas vezes o terceiro lado é 5, já contado. Assim, o total é 3.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas maiores atraem quem lista todas as somas b+c=11 sem aplicar a desigualdade triangular ou sem eliminar triângulos congruentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bconta também os pares (2,9) e (1,10), que violam a desigualdade triangular.
  • Cconta triângulos impossíveis, ignorando que o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois.
  • Dconta pares ordenados (b,c) e (c,b) como diferentes, mas eles são congruentes.
  • Econta todas as decomposições de 11 em duas parcelas sem testar a existência do triângulo.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Nos cadernos: Amarelo 166Cinza 164Azul 147Rosa 151