Questão 169 do ENEM 2013

2º dia · Matemática

Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Quantidade de números escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R$)
6 2,00
7 12,00
8 40,00
9 125,00
10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;

Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;

Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;

Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;

Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são

  1. A
    Caio e Eduardo.
  2. B
    Arthur e Eduardo.
  3. C
    Bruno e Caio.
  4. D
    Arthur e Bruno.
  5. E
    Douglas e Eduardo.
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Resolução comentada

A probabilidade de ganhar é proporcional ao número de combinações de 6 números que cabem nas cartelas. Uma cartela com n números contém \binom{n}{6} jogos simples de 6 números, e o total de sorteios possíveis é o mesmo para todos. Basta então comparar quantos jogos simples cada apostador cobre.

Combinações por cartela:

  • 6 números: \binom{6}{6}=1
  • 7 números: \binom{7}{6}=7
  • 8 números: \binom{8}{6}=28
  • 9 números: \binom{9}{6}=84
  • 10 números: \binom{10}{6}=210

Total de jogos de cada apostador:

  1. Arthur: 250\cdot 1 = 250
  2. Bruno: 41\cdot 7 + 4\cdot 1 = 287+4 = 291
  3. Caio: 12\cdot 28 + 10\cdot 1 = 336+10 = 346
  4. Douglas: 4\cdot 84 = 336
  5. Eduardo: 2\cdot 210 = 420

Os dois maiores valores são 420 (Eduardo) e 346 (Caio). Como o total de resultados possíveis é o mesmo para todos, esses são os de maior probabilidade.

Alternativa A.

Pegadinha: Douglas (336) e Caio (346) ficam muito próximos, então quem faz a conta com pouco cuidado pode trocar um pelo outro e marcar a alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BArthur cobre só 250 jogos, menos que Caio (346), Douglas (336) e Bruno (291).
  • CBruno cobre 291 jogos, menos que Eduardo (420).
  • DArthur (250) e Bruno (291) são os dois com menos jogos cobertos.
  • EDouglas cobre 336 jogos, ficando abaixo de Caio (346).

Assuntos: combinação, probabilidade.

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