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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 166 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função exponencial

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A \cdot (2{,}7)^{kt}, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para \log_{10} 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

  1. A
    27
  2. B
    36
  3. C
    50
  4. D
    54
  5. E
    100
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Resolução comentada

Passo 1: usar a meia-vida para achar k. Em t=30, a massa cai à metade:

A\cdot(2{,}7)^{30k}=\frac{A}{2}\Rightarrow (2{,}7)^{30k}=\frac12

Passo 2: queremos o tempo t em que M(t)=0{,}1A, ou seja, (2{,}7)^{kt}=\frac1{10}.

Passo 3: aplicar \log_{10} nas duas equações. Note que \log 2{,}7 aparece nas duas e será cancelado ao dividir.

Da primeira: 30k\cdot\log 2{,}7=-\log 2=-0{,}3.

Da segunda: kt\cdot\log 2{,}7=-\log 10=-1.

Passo 4: dividir a segunda pela primeira:

\frac{kt\cdot\log 2{,}7}{30k\cdot\log 2{,}7}=\frac{-1}{-0{,}3}\Rightarrow \frac{t}{30}=\frac{10}{3}
t=30\cdot\frac{10}{3}=100

Ou seja, reduzir a 10% leva cerca de 3,33 meias-vidas, o que faz sentido: 3 meias-vidas deixam 12,5% e 4 deixam 6,25%, então 10% fica entre 90 e 120 anos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base na relação t/30=1/0{,}3; não corresponde a nenhuma etapa correta.
  • BResultado de uma conta incorreta com os logaritmos; 36 anos é pouco mais que uma meia-vida, e restaria cerca de 43%.
  • CCorresponderia a menos de duas meias-vidas, deixando cerca de 31% da massa, não 10%.
  • DTambém é menos de duas meias-vidas (cerca de 28% restante), longe de 10%.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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