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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Losango não quadrado com vértices A no topo, B à direita, C embaixo e D à esquerda.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

  1. A
    6
  2. B
    12
  3. C
    18
  4. D
    24
  5. E
    36
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Resolução comentada

Primeiro contamos as colorações dos vértices A, B, C, D com 3 cores, sem repetir cor em vértices consecutivos. Depois descontamos as que geram a mesma joia quando o losango é girado ou virado.

1. Colorações possíveis

Seguindo o ciclo A, B, C, D, com A vizinho de B e de D:

  • Se A = C: são 3 escolhas para A, e B e D podem ser qualquer uma das outras 2 cores. Total: 3\cdot 2\cdot 2 = 12.
  • Se A \neq C: são 3\cdot 2 = 6 escolhas para A e C. B e D devem ser diferentes de ambas, então só resta 1 cor para cada. Total: 6.

Ao todo, são 12 + 6 = 18 colorações.

2. Joias iguais

O losango não quadrado se sobrepõe a si mesmo de 4 formas: identidade, giro de 180^\circ, reflexão na diagonal AC e reflexão na diagonal BD. Contamos, para cada uma, as colorações que ela não altera:

  1. Identidade: 18.
  2. Giro de 180^\circ (exige A=C e B=D): 3\cdot 2 = 6.
  3. Reflexão em AC (exige B=D): 3\cdot 2\cdot 2 = 12.
  4. Reflexão em BD (exige A=C): 3\cdot 2\cdot 2 = 12.

O número de joias diferentes é a média desses valores (lema de Burnside):

\frac{18+6+12+12}{4}=\frac{48}{4}=12

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C (18) engana quem conta apenas as colorações e esquece que girar ou virar o losango produz a mesma joia.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANúmero pequeno demais; não corresponde a nenhuma contagem correta das colorações nem das joias distintas.
  • CÉ o total de colorações dos vértices (18), sem descontar as que dão a mesma joia por giro ou reflexão.
  • DNão resulta de contagem correta; erra ao combinar as cores ou ao descontar as simetrias.
  • EIgnora a restrição de cores diferentes em vértices consecutivos e conta combinações demais.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Transformações geométricas e localização.

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Nos cadernos: Amarelo 161Cinza 157Azul 165Rosa 171