Questão 151 do ENEM 2013

Question

Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I — é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 9;
II — é a parábola de equação y = -x^2 - 1, com x variando de -1 a 1;
III — é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1), (-1, 2) e (-2, 2);
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V — é o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 151 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H20 · Matemática: Equação da circunferência

Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I — é a circunferência de equação x^2 + y^2 = 9;
II — é a parábola de equação y = -x^2 - 1, com x variando de -1 a 1;
III — é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1), (-1, 2) e (-2, 2);
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
V — é o ponto (0, 0).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Vamos identificar cada conjunto e ver o que ele exige na figura.

Conjunto I: x^2+y^2=9 é uma circunferência de centro na origem e raio r com r^2=9, ou seja, r=3. Isso elimina as figuras A e B, que têm raio 9.

Conjunto II: y=-x^2-1 é uma parábola com coeficiente a=-1<0, portanto com concavidade para baixo (forma ∩). Para x de -1 a 1:

x=0 \Rightarrow y=-1 (o vértice, ponto mais alto do arco);
x=\pm1 \Rightarrow y=-1-1=-2.

O arco está inteiramente abaixo do eixo x, entre y=-2 e y=-1, e tem forma ∩. Isso elimina C (arco ∪) e D (arco acima da origem).

Conjuntos III e IV: quadrados de lado 1, um em -2\le x\le-1 e outro em 1\le x\le2, ambos com 1\le y\le2. Ficam acima do eixo x, simétricos em relação ao eixo y, e dentro da circunferência de raio 3.

Conjunto V: o ponto (0,0), a origem.

A única figura com raio 3, dois quadrados acima do eixo, ponto na origem e arco em ∩ abaixo da origem é a E.

Alternativa E.

Pegadinha: As alternativas A e B enganam quem toma 9 como raio; C engana quem ignora o sinal negativo da parábola; D coloca o arco acima da origem, esquecendo o -1.

Por que as outras alternativas estão erradas

Atraz raio 9, mas x^2+y^2=9 dá raio 3 (confundiu r^2 com r).
Braio 9 e arco em ∪, mas a parábola tem a<0 e concavidade para baixo.
Craio correto, mas o arco está em ∪, contrariando o sinal negativo de -x^2.
Darco em ∩ mas posicionado acima da origem; o arco real fica entre y=-2 e y=-1.

Assuntos: Equação da circunferência, Função quadrática.

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Questão 151 no caderno Azul do ENEM 2013

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