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Questão 152 do ENEM 2013

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função quadrática

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

Taça formada pela rotação de uma parábola em torno do eixo vertical tracejado z. No plano cartesiano, o eixo y é vertical e o eixo x é horizontal. O vértice V da parábola está sobre o eixo x; o ponto C está no eixo y, à altura da superfície do líquido. A parte inferior da taça contém líquido representado em cinza.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    6.
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Resolução comentada

O vértice da parábola está sobre o eixo x, então sua ordenada é zero: y_V = 0. Isso quer dizer que a parábola apenas toca o eixo x, e a equação f(x)=0 tem uma única raiz (raiz dupla), ou seja, o discriminante é nulo: \Delta = 0.

Na função f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+C, os coeficientes são a=\frac{3}{2}, b=-6 e c=C.

  1. Calcule o discriminante: \Delta = b^2-4ac = (-6)^2 - 4\cdot\frac{3}{2}\cdot C = 36 - 6C.
  2. Faça \Delta = 0: 36 - 6C = 0.
  3. Resolva: C = \frac{36}{6} = 6.

Conferindo pelo vértice: x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{3} = 2, e f(2)=\frac{3}{2}\cdot 4 - 12 + C = 6 - 12 + C = C - 6. Para y_V=0, precisamos de C=6. Confere.

Como f(0)=C, o ponto C no eixo y está na altura 6 cm, que é a altura do líquido.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a condição \Delta=0; não resulta de nenhuma conta correta.
  • BErro ao resolver 36-6C=0 ou ao calcular \Delta; não anula o vértice.
  • CCom C=4 o vértice ficaria em y=-2, abaixo do eixo x.
  • DCom C=5 o vértice ficaria em y=-1, e não sobre o eixo x.

Assuntos: Função quadrática, Equação do 2º grau.

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