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Questão 178 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8.

Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é

  1. A
    Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
  2. B
    José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
  3. C
    José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
  4. D
    José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
  5. E
    Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
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Resolução comentada

Ao lançar dois dados, há 6 \times 6 = 36 resultados possíveis, todos igualmente prováveis. Para comparar as chances, basta contar de quantas maneiras cada soma pode sair, considerando os pares ordenados (dado 1, dado 2).

  1. Soma 7 (José): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), ou seja, 6 possibilidades. Probabilidade: \frac{6}{36}.
  2. Soma 4 (Paulo): (1,3), (2,2), (3,1), ou seja, 3 possibilidades. Probabilidade: \frac{3}{36}.
  3. Soma 8 (Antônio): (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), ou seja, 5 possibilidades. Probabilidade: \frac{5}{36}.

Como \frac{6}{36} > \frac{5}{36} > \frac{3}{36}, José é quem tem a maior probabilidade de acertar. O número de possibilidades de cada um (6, 5 e 3) bate exatamente com a alternativa D.

Note que o valor da soma em si não determina a chance: o 7 está no meio da escala de 2 a 12, e por isso é a soma mais provável, pois é a que tem mais combinações.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana por acertar que José tem 6 possibilidades, mas erra ao igualar Antônio a ele (são 5) e ao dar 4 a Paulo (são 3).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAcha que a soma maior é a mais provável, mas a probabilidade depende do número de combinações, não do valor da soma.
  • BConta 6 possibilidades para Antônio e 4 para Paulo, mas o correto é 5 e 3, e José e Antônio não empatam.
  • CAfirma 3 possibilidades para José e Antônio e 2 para Paulo, contagens erradas; José e Antônio não têm a mesma chance.
  • ESupõe que a menor soma seja a mais provável, mas ela tem poucas combinações (3 para a soma 4).

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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