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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 169 do ENEM 2012

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Matrizes e determinantes

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5
Português 6,6 7,1 6,5 8,4
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0
História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

  1. A
    \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}
  2. B
    \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{bmatrix}
  3. C
    \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
  4. D
    \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} \\[6pt] \dfrac{1}{2} \\[6pt] \dfrac{1}{2} \\[6pt] \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}
  5. E
    \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} \\[6pt] \dfrac{1}{4} \\[6pt] \dfrac{1}{4} \\[6pt] \dfrac{1}{4} \end{bmatrix}
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Resolução comentada

A matriz das notas, A, é 4\times4: cada linha é uma disciplina e cada coluna é um bimestre. Queremos, para cada disciplina, a média das 4 notas, ou seja, a soma das notas dividida por 4, pois todas as provas têm o mesmo peso.

No produto A\cdot B, cada elemento é a linha de A multiplicada pela coluna de B. Para que o resultado seja uma média por disciplina, a linha inteira (as 4 notas da disciplina) deve ser multiplicada por uma coluna B com quatro pesos.

  1. Como a linha de A é multiplicada por uma coluna, B deve ser uma matriz coluna 4\times1. Isso elimina as alternativas A e B, que são matrizes linha.
  2. Cada peso deve valer \frac{1}{4}, para que a soma dê a média:
\text{média} = \frac{1}{4}n_1+\frac{1}{4}n_2+\frac{1}{4}n_3+\frac{1}{4}n_4 = \frac{n_1+n_2+n_3+n_4}{4}

Por exemplo, em Matemática: \frac{5{,}9+6{,}2+4{,}5+5{,}5}{4}=\frac{22{,}1}{4}\approx 5{,}5.

O produto A\cdot B é 4\times4 por 4\times1, resultando em uma matriz 4\times1 com as médias das quatro disciplinas.

A matriz coluna com todos os elementos iguais a \frac{1}{4} é a da alternativa E.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana porque tem os pesos certos (\frac{1}{4}), mas a forma (linha em vez de coluna) impede o produto que dá as médias por disciplina.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ matriz linha, então não pode multiplicar A à direita, e o peso \frac{1}{2} não gera média de 4 notas.
  • BOs pesos \frac{1}{4} estão certos, mas é matriz linha 1\times4, incompatível com A\cdot B para médias por disciplina.
  • CSó soma as quatro notas, sem dividir por 4.
  • DUsa peso \frac{1}{2}, que resulta na soma dividida por 2, o dobro da média.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Média aritmética e ponderada.

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