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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida).

O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada.

Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas.

Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é

  1. A
    Arthur, pois a soma que escolheu é a menor.
  2. B
    Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
  3. C
    Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio.
  4. D
    Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo.
  5. E
    Caio, pois a soma que escolheu é a maior.
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Resolução comentada

As bolas coloridas valem 1, 2, ..., 15, cada valor uma vez. Precisamos contar os pares de valores diferentes (duas bolas distintas) cuja soma é 12, 17 ou 22. Como a ordem não importa, o par {a, b} conta uma só vez.

  1. Soma 12: pares (1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7). O par (6,6) não vale, pois só existe uma bola de valor 6. Total: 5 pares.

  2. Soma 17: o menor valor possível é 2, pois 17 − 15 = 2. Pares: (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), (8,9). Total: 7 pares.

  3. Soma 22: o menor valor possível é 7, pois 22 − 15 = 7. Pares: (7,15), (8,14), (9,13), (10,12). O par (11,11) não vale. Total: 4 pares.

Como o total de pares possíveis é o mesmo para todos, a maior probabilidade é a de quem tem mais pares favoráveis: Bernardo, com 7, contra 5 de Arthur e 4 de Caio.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana ao trocar o número de pares de Arthur para 4, esquecendo o par (5,7); também é tentador contar (6,6) para Arthur, mas só há uma bola 6.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aa probabilidade depende do número de pares que dão a soma, não do tamanho da soma.
  • Bdiz que Arthur tem 4 possibilidades, mas ele tem 5 (1+11, 2+10, 3+9, 4+8, 5+7).
  • Dos números 10, 5 e 8 não correspondem às contagens reais; Caio tem só 4 pares.
  • Ea maior soma não garante mais combinações; Caio tem apenas 4 pares.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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